На главную

Статья по теме: Гармонических осцилляторов

Предметная область: полимеры, синтетические волокна, каучук, резина

Скачать полный текст

Из сравнения выражений (4.2) и (4.8) следует, что значения средней энергии квантового и классического гармонических осцилляторов существенно различаются. Заметим, что выражение (4.8) имеет более общий характер. Из него как частный случай можно получить выражение для средней энергии классического гармонического осциллятора. Действительно, при высоких температурах, когда kT~^>hti>, знаменатель в выражении (4.8) можно разложить в ряд:[2, С.107]

Твердое тело (кристалл) можно рассматривать состоящим из п частиц (атомов, ионов) или как систему (ансамбль) из Зя гармонических осцилляторов с разными частотами нормальных колебаний v. Его уравнение состояния есть pV=—VU(V)+D. Здесь U(V) —не зависящий от Т член, учитывающий внутреннюю энергию U кристалла, a D — член, учитывающий условия тепловых колебаний частиц. При заданных У и Т термический вклад в давление учитывается соотношением[1, С.278]

Постоянная Больцмана k= 1,38-10~23 Дж/К представляет собой отношение k = R/N0, где # = 8,31 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная, a JV0 = 6,02-•1023 моль^1 — число Авогадро. Моль твердого тела можно рассматривать как систему 3N0 простых одномерных гармонических осцилляторов. Внутренняя энергия такой системы равна:[2, С.106]

Таким образом, теория Дебая рассматривает сложное движение центров масс связанных между собой N элементов решетки. Это сложное движение (колебания решетки) предполагается эквивалентным движению 3N независимых одномерных гармонических осцилляторов. Координаты этих гармонических осцилляторов называются нормальными координатами, а их колебания называются нормальными колебаниями. Внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела состоят из аддитивных вкладов отдельных нормальных колебаний. Для расчета теплоемкости (вывода формулы, описывающей зависимость теплоемкости от температуры) необходимо знать частотный спектр нормальных колебаний. Частотный спектр нормальных колебаний может быть рассчитан теоретически путем использования так называемого секулярного уравнения. В случае простой решетки решение секулярного уравнения содержит три частотных (акустических) ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки, т. е. трем типам упругих волн, возбужденных в решетке (двум поперечным и одной продольной). Простота формулы Дебая и является следствием ряда упрощений, сделанных при ее выводе. В значительно большей степени атомное строение твердых тел было учтено в теории теплоемкости, предложенной Борном и Карманом [3]. В этой теории твердое тело рассматривается как решетка, состоящая из точечных масс, соединенных между собой пружинами. Борн и Карман не только рассмотрели действие центральных сил, но попытались учесть силы, действующие между атомами на более дальних расстояниях. В случае наиболее простой модели, какой является одномерная модель с центральными силами, действующими между ближайшими соседними атомами, они показали, что допущение Дебая о том, что дисперсия скорости упругих волн отсутствует, неправомерно. В теории Борна — Кармана учитывалось, что граничная частота шт (частота «обрезания» спектра нормальных колебаний) должна[2, С.112]

Теория Эйнштейна. Эйнштейн попытался объяснить резкое уменьшение теплоемкости твердых тел при низких температурах (при Т—»-0), исходя из простой модели. Он предположил, что для объяснения тепловых свойств при низких температурах кристаллическую решетку твердого тела, состоящую из N колеблющихся атомов, можно рассматривать как систему 3N независимых одномерных гармонических осцилляторов, имеющих одинаковую собственную частоту v. Гармонические осцилляторы, использованные Эйнштейном, отличались от классических гармонических осцилляторов. Классический гармонический осциллятор может иметь любую амплитуду колебаний и, следовательно, любую энергию. Квантовые гармонические осцилляторы, с которыми оперировал Эйнштейн, могут иметь лишь строго определенные, дискрет-[2, С.106]

Теплоемкость системы N одинаковых квантовых гармонических осцилляторов можно представить как[2, С.108]

В теории Дебая число нормальных колебаний решетки приводится в соответствии с общим числом колебательных степеней свободы (3N) системы, состоящей из Л' одномерных гармонических осцилляторов, путем использования соотношения:[2, С.115]

В приближении Грюнайзена у предполагается слабо изменяющейся функцией объема. Иногда считают, что параметр Грюнайзена практически не зависит от температуры. Однако предположение Грюнайзена о том, что все -\j равны, является недостаточно точным. В связи с этим было введено представление о среднем значении YC параметра Грюнайзена. Показано [35]', что ус зависит от температуры. Баррон в своих расчетах [35] исходил из теории Борна — Кармана. Кристалл, состоящий из N атомов, он рассматривал как ансамбль, состоящий из 3N гармонических осцилляторов, имеющих частоты нормальных колебаний, равные v,-. Уравнение состояния в этом случае записывается в виде:[2, С.167]

Согласно классической физике, в системе гармонических осцилляторов распределение по энергии подчиняется статистике Больцмана:[4, С.106]

Метод Борна заключается в сравнении этой энергии с энергией произвольного ряда гармонических осцилляторов:[3, С.16]

Напряжение <т6 в таком стержне представляется наложением стоячих воли с амплитудами, удовлетворяющими уравнениям гармонических осцилляторов с частотами (о/ = /яс*/Я, где с* — скорость звука, Н — длина стержня, / = 1, 2, ..., ./V. Величину N, как и в интерполяционной теории Дебая, выбирают равной числу элементов стержня, представляющих отдельные атомы или группы атомов, участвующие в продольных колебаниях как целое. Переходя к квантовому описанию системы осцилляторов и вычисляя корреляционную функцию К(х, т), находим:[4, С.102]

колебаний решетки; 2) металлы, где основную роль в теплопроводности играют электроны; 3) сплавы и другие плохо проводящие вещества, теплопроводность которых обусловлена обеими указанными выше причинами. Рассмотрим теплопроводность твердых тел первой группы, т. е. теплопроводность диэлектриков, к которым принадлежит подавляющее большинство полимерных материалов. Вначале ограничимся рассмотрением кристаллических диэлектриков. Если рассматривать кристаллическую решетку как набор гармонических осцилляторов, в которой нормальные колебания независимы друг от друга, а амплитуды этих колебаний зависят от температуры, то оказывается, что тепловое сопротивление в такой решетке отсутствует. Кроме того, вследствие независимости отдельных колебаний и отсутствия взаимодействия между ними энергия каждого колебания сохраняется, и такая система не может перейти к равновесному распределению энергии. Дебай попытался учесть взаимодействие волн решетки и для определения коэффициента теплопроводности использовал известную из кинетической теории газов формулу:[2, С.138]

Полный текст статьи здесь



ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТУДЕНТАМ!!!
Задачи по теоретической механике из сборника курсовых работ под редакцией А.А. Яблонского, Кепе, Диевского. Быстро, качественно, все виды оплат, СМС-оплата.
А также: Готовые решения задач по теормеху из методичек Тарга С.М. 1988 и 1989 г. и задачника Мещерского. Решение любых задач по термеху на заказ.
Если Вам нужны решения задач по Физике из методички Чертова А.Г. для заочников, а также решебнки: Прокофьева, Чертова, Воробьёва и Волькинштейна. Решение любых задач по физике и гидравлике на сайте fiziks.ru
Что самое приятное на любом из этих сайтов Вы можете заказать решение задач по другим предметам: химия, высшая математика, строймех, сопромат, электротехника, материаловедение, ТКМ и другие.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бартенев Г.М. Физика и механика полимеров, 1983, 392 с.
2. Перепечко И.И. Введение в физику полимеров, 1978, 312 с.
3. Аскадский А.А. Химическое строение и физические свойства полимеров, 1983, 248 с.
4. Бартенев Г.М. Прочность и механика разрушения полимеров, 1984, 280 с.

На главную