Таким образом, теория Дебая рассматривает сложное движение центров масс связанных между собой N элементов решетки. Это сложное движение (колебания решетки) предполагается эквивалентным движению 3N независимых одномерных гармонических осцилляторов. Координаты этих гармонических осцилляторов называются нормальными координатами, а их колебания называются нормальными колебаниями. Внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела состоят из аддитивных вкладов отдельных нормальных колебаний. Для расчета теплоемкости (вывода формулы, описывающей зависимость теплоемкости от температуры) необходимо знать частотный спектр нормальных колебаний. Частотный спектр нормальных колебаний может быть рассчитан теоретически путем использования так называемого секулярного уравнения. В случае простой решетки решение секулярного уравнения содержит три частотных (акустических) ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки, т. е. трем типам упругих волн, возбужденных в решетке (двум поперечным и одной продольной). Простота формулы Дебая и является следствием ряда упрощений, сделанных при ее выводе. В значительно большей степени атомное строение твердых тел было учтено в теории теплоемкости, предложенной Борном и Карманом [3]. В этой теории твердое тело рассматривается как решетка, состоящая из точечных масс, соединенных между собой пружинами. Борн и Карман не только рассмотрели действие центральных сил, но попытались учесть силы, действующие между атомами на более дальних расстояниях. В случае наиболее простой модели, какой является одномерная модель с центральными силами, действующими между ближайшими соседними атомами, они показали, что допущение Дебая о том, что дисперсия скорости упругих волн отсутствует, неправомерно. В теории Борна — Кармана учитывалось, что граничная частота шт (частота «обрезания» спектра нормальных колебаний) должна[3, С.112]
В теории Дебая число нормальных колебаний решетки приводится в соответствии с общим числом колебательных степеней свободы (3N) системы, состоящей из Л' одномерных гармонических осцилляторов, путем использования соотношения:[3, С.115]
Таким образом, функция распределения частот нормальных колебаний в трехмерной решетке прямо пропорциональна квадрату частоты v2. Число ds3 собственных колебаний решетки, или трехмерного континуума, в интервале частот от v до v + dv определяется выражением:[3, С.114]
Твердое тело (кристалл) можно рассматривать состоящим из п частиц (атомов, ионов) или как систему (ансамбль) из Зя гармонических осцилляторов с разными частотами нормальных колебаний v. Его уравнение состояния есть pV=—VU(V)+D. Здесь U(V) —не зависящий от Т член, учитывающий внутреннюю энергию U кристалла, a D — член, учитывающий условия тепловых колебаний частиц. При заданных У и Т термический вклад в давление учитывается соотношением[1, С.278]
В интервале температур 1—50 К теплоемкость полиэтилена линейно зависит от степени кристалличности [9]. Наиболее сильно эта зависимость проявляется при 5 К и уменьшается при повышении или понижении температуры. Если ослабление зависимости от степени кристалличности при повышении температуры от 5 до 50 К можно объяснить повышением частоты нормальных колебаний и последующим переходом к сравнительно высокочастотным одномерным колебаниям, то уменьшение зависимости Ср от степени кристалличности при понижении температуры ниже 5 К не совсем понятно. Если теплоемкость частично кристаллического полиэтилена следует закону кубов Дебая лишь до 5 К [13], то теплоемкость полностью кристаллического полиэтилена подчиняется такому закону вплоть до 9 К. Характеристическая температура QD полностью кристаллического полиэтилена, рассчитанная по формуле Дебая, оказывается равной 260 К-[3, С.131]
В приближении Грюнайзена у предполагается слабо изменяющейся функцией объема. Иногда считают, что параметр Грюнайзена практически не зависит от температуры. Однако предположение Грюнайзена о том, что все -\j равны, является недостаточно точным. В связи с этим было введено представление о среднем значении YC параметра Грюнайзена. Показано [35]', что ус зависит от температуры. Баррон в своих расчетах [35] исходил из теории Борна — Кармана. Кристалл, состоящий из N атомов, он рассматривал как ансамбль, состоящий из 3N гармонических осцилляторов, имеющих частоты нормальных колебаний, равные v,-. Уравнение состояния в этом случае записывается в виде:[3, С.167]
Теория позволяет вычислить температурную зависимость теплоемкости, если известна модель межатомных сил. В ряде простых случаев теоретические расчеты хорошо совпадали с результатами экспериментальных исследований. Однако расчет частотного спектра, знание которого позволяет вывести формулу для теплоемкости, оказывается очень трудной задачей. Для этого необходимо знать все силовые постоянные и потенциал взаимодействия между атомами. Однако и тогда решение секуляр-ного уравнения оказывается достаточно сложным. Кроме того, в реальных твердых телах приходится иметь дело со сложными решетками. Если элементарная ячейка такой решетки содержит п структурных элементов, то к акустическим ветвям, получающимся при решении секулярного уравнения, добавляются 3 (п—1) оптических ветвей, которые при определенных условиях отделены друг от друга и от акустических ветвей энергетическими щелями. Все это значительно осложняет расчет спектра нормальных колебаний.[3, С.113]
Рис. 7.17. Изображение первых трех мод нормальных колебаний цепной молекулы.[4, С.150]
Параметр Грюнайзена указывает на связь между частотами нормальных колебаний и объемом твердого тела:[3, С.166]
В вводной части применительно к аморфным полимерам (раздел 7.1.1) были рассмотрены релаксационные спектры и отмечена их сложность. Теории нормальных колебаний, рассмотрению[4, С.147]
Саито и его сотрудники [17] рассмотрели колебания молекулы, окруженной соседями, около положения, соответствующего ее локальной равновесной конформации. Анализ был основан на предположении о том, что суперпозиция колебаний представляет собой набор нормальных колебаний.[3, С.196]
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТУДЕНТАМ!!! Задачи по теоретической механике из сборника курсовых работ под редакцией А.А. Яблонского, Кепе, Диевского. Быстро, качественно, все виды оплат, СМС-оплата.
А также: Готовые решения задач по теормеху из методичек Тарга С.М. 1988 и 1989 г. и задачника Мещерского. Решение любых задач по термеху на заказ.
Если Вам нужны решения задач по Физике из методички Чертова А.Г. для заочников, а также решебнки: Прокофьева, Чертова, Воробьёва и Волькинштейна. Решение любых задач по физике и гидравлике на сайте fiziks.ru
Что самое приятное на любом из этих сайтов Вы можете заказать решение задач по другим предметам: химия, высшая математика, строймех, сопромат, электротехника, материаловедение, ТКМ и другие.